HEXÁGONOS MÁGICOS
Resuelva los ejercicios que aparecen a continuación
A. Soy el séptimo impar
B. Soy el cuadrado de 4,menos 1
C. Soy el triple de 3
D. Si divides 100 entre mi,obtendrás 20
E. Mi cuadrado es tres veces 12.
F. Soy el quinto primo.
G. Soy la décima parte de ciento veinte.
H. Si me multiplicas por si mismo, obtendrás 49
I. Soy la suma de los 4 primeros enteros
positivos.
J. Soy el doble del cuarto numero primo.
K. Mi cubo 64
L. Soy la tercera potencia de 2
M. Soy el cuadruplo de 5,menos 3.
N. Mi raiz cuadrada es 4.
O. Soy la suma del primer par
positivo con el primer impar
P. Soy el menor divisor par de 34
VECTORES Y MATRICES
CABALLO DEL AJEDREZ
El caballo del ajedrez es la pieza más versátil y sorpresiva del tablero. El problema es que también es la pieza más difícil de mover para los aprendices. Por eso hemos preparado este juego de lógica que hemos titulado el caballo del ajedrez.
Con un único caballo del ajedrez deberás recorrer todas las casillas del tablero sin pasar dos veces por la misma.
En mi época de estudiante jugaba a este juego de lógica con una hoja cuadriculada y un bolígrafo. Hacía un cuadrado de 8x8 y llenaba los cuadritos interiores con números haciendo el salto del caballo del ajedrez. Los tiempos han cambiado y ahora puedo jugar en Juegos de lógica, una y otra vez, tan sólo haciendo clicks y además con la opción de deshacer los movimientos erróneos.
Movimiento del caballo del ajedrez: El caballo mueve en L; es decir, dos casillas en horizontal y una en vertical; o dos casillas en vertical y una en horizontal. En la imagen superior puedes ver los 8 movimientos posibles del caballo.
SUDOKU:En el siglo XVIII, el famoso matemático suizo, Leonhard Euler de Basilea (1707-1783), creó un sistema de probabilidades para representar una serie de número sin repetir. Debido a esto Leonhard Euler de Basilea se considera el inventor de este juego.
Ya en 1970 la editorial Math Puzzles and Logic Problems publicaba una sección llamada Number place por lo que este enigma matemático se convertiría en pasatiempos aunque años más tarde se perdió en el olvido.
En 1984 el periódico japonés Monthly Nikolist publicó una sección de pasatiempos llamada Sūji wa dokushin ni kagiru (数字は独身に限る) "los números deben estar solos" (literalmente dokushin (独身) = "célibe, soltero"). Fue Kaji Maki, presidente de Nikoli, quien le puso el nombre. El nombre se abrevió a Sūdoku (sū = número, doku = solo)
CUBO RUBIC
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Metodo Gauss
Metodos Gauss
EL Numero PI
Srinivasa Ramanujan, el enigmático genio matemático indio
Pero si además te acoge en su “seno matemático”, tomando en consideración tus resultados y trabajando contigo, y te considera un 100 es su escala matemática del 1 al 100 (Hardy se daba a él mismo un 25, a su compañero Littlewood un 30 y a David Hilbert un 80) es que eres bueno, realmente bueno.
MATEMATICO AUTODICTACTA
Srinivasa Ramanujan nació en la India el 22 de diciembre de 1887 y, aun habiendo recibido educación a nivel escolar, podemos decir que fue un matemático autodidacta.
Según lo que se cuenta, fue un prodigio matemático desde pequeño, pero no siguió la línea que se suele asociar a un matemático profesional. Él escribía sus resultados en su cuaderno, con una notación propia y sin demostraciones.
Con esto no sería muy extraño que cualquier matemático profesional pasara un poco de lo que Ramanujan pudiera decir.
Alrededor de 1912 Srinivasa envió cartas a varios matemáticos importantes del Reino Unido y casi nadie le dio importancia…excepto Hardy (que, por cierto, estuvo a punto de tirarla).
El bueno de G. H. Hardy se sentó con su compañero Littlewood a intentar demostrar todos los teoremas que este enigmático personaje les había enviado…
…y lo consiguieron con muchos, pero no con todos, aunque en palabras del propio Hardy
…forzoso es que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas.
Godfrey Harold HardyLas fórmulas y teoremas que contenía el texto enviado por Ramanujan eran enrevesados, complejos, sin demasiada información sobre el “lugar de las matemáticas” de donde podían haber salido…pero parecían ser ciertos. Esto cautivó de tal manera a Hardy que invitó a Ramanujan a Inglaterra para trabajar con él.
En 1914 nuestro protagonista llegaba al país anglosajón, y tan buena fue la colaboración que en tres años Ramanujan ya era miembro de la Royal Society de Londres.
Srinivasa Ramanujan trabajó principalmente en teoría de números, encontrando identidades relacionadas con el número pi y el número e o los números primos.
El numero pi, e, los números primos
Como decimos, en general sus fórmulas son muy enrevesadas, pero en su mayoría verdaderas (a posteriori se ha descubierto que algunos de sus resultados era incorrectos), y algunas de ellas se han convertido en potentes herramientas para calcular grandes cantidades de decimales de, principalmente, el número pi.
Quizás la más conocida sea ésta:
que nos da 8 decimales exactos de pi en cada iteración.
Tremendo, ¿verdad?
Pero quizás la anécdota más conocida asociada a Ramanujan es la del taxi.
La salud de Ramanujan no era demasiado buena, y empeoró después de enfermar de tuberculosis.
Por ello volvió a India, donde no llegó a recuperarse y falleció en 1920. El caso es que antes de todo esto Ramanujan realizaba visitas forzosas al hospital con relativa frecuencia.
En una de ellas recibió la visita de Hardy, y cuenta la leyenda que este le dijo algo así como:
He venido en un taxi con el número 1729, un número nada interesante.
A lo que Ramanujan contesto:
¡No! ¡Es un número muy interesante! Es el número entero positivo más pequeño que puede expresarse como la suma de dos cubos de dos formas distintas.
Y era cierto. El número 1729, conocido como el número de Hardy-Ramanujan, cumple la propiedad comentada por Ramanujan, ya que:
No quiero ni imaginar la cara que debió poner Hardy en ese momento…
Esta propiedad inspiró la definición de los números Taxicab, Ta(n) (A011541 en la OEIS), que para todo n número entero positivo simbolizan el menor número entero positivo que se puede escribir como suma de dos cubos de n formas distintas. Así:
Hay otras muchas fórmulas, identidades, funciones, constantes y conjeturas relacionadas con Ramanujan.
Hay dos premios importantes en matemáticas a nivel internacional en honor a Ramanujan:
El Premio Ramanujan, entregado por el International Centre for Theoretical Physics (ICTP) y la International Mathematical Union (IMU) que se concede anualmente desde 2005 a matemáticos de países en desarrollo que hayan destacado en sus investigaciones y que tengan como mucho 45 años el 31 de diciembre del año en cuestión.
El Premio SASTRA Ramanujan, que entrega la Shanmugha Arts, Science, Technology & Research Academy (SASTRA), también desde 2005, a matemáticos de como mucho 32 años que hayan realizado aportaciones importantes y novedosas a algún campo relacionado con los estudios que realizó el propio Ramanujan.
ALGORITMO PARA HALLAR MAS DECIMALES AL NUMERO PI
que aparece en este artículo, y también de otros algoritmos y fórmulas tipo Ramanujan.
Pi Formulas en MathWorld, donde aparecen muchas descubiertas por Ramanujan.
Hay una estrecha relación y hermoso entre la teoría de la transformación para las integrales elípticas y la rápida aproximación de.
Esta conexión se hizo por primera explícita por Ramanujan en su artículo de 1914 `` Las ecuaciones modulares y aproximaciones a
Podríamos hincapié en que Algoritmos 1 y 2 no deben ser encontrados en el trabajo de Ramanujan, de hecho hay aproximación recursiva de que se considera, pero como veremos más adelante que están íntimamente relacionados con su análisis. Tres ejemplos centrales son:
Cada período adicional de 1 Suma agrega aproximadamente ocho dígitos, cada iteración adicional del algoritmo 1 cuadruplica el número de dígitos correctos, mientras que cada iteración adicional del algoritmo 2 quintuplica el número de dígitos correctos.
Por lo tanto apenas trece iteraciones del algoritmo 2 proporcionan más de un billón de dígitos decimales de.
En general, para nosotros, la convergencia PTH-orden de una secuencia a los medios que tiende a y que
para alguna constante C> 0.
Algoritmo 1 es sin duda el algoritmo más eficiente actualmente conocido para el cálculo de precisión extendida de.
Mientras que las tasas de convergencia son impresionantes, es la naturaleza sutil y no transparente a fondo de estos resultados y la belleza de las matemáticas subyacentes que nos intrigan más.
Watson [37], al comentar sobre ciertas fórmulas de Ramanujan, charlas de
Suma 1 se debe directamente a Ramanujan.
Se basa en una identidad modular de orden 58 y, al igual que gran parte del trabajo de Ramanujan, aparece sin pruebas y con la única motivación escasa.
La primera derivación que sabemos de que aparezca en . Algoritmos 1 y 2 se basan en identidades modulares de pedidos 4 y 5 respectivamente. La identidad subyacente quintic modular en el algoritmo 2 (la relación para) se debe también a Ramanujan, aunque la primera prueba se debe a Berndt .
Una de las intenciones al escribir este artículo es explicar la génesis
de Suma 1 y de Algoritmos 1 y 2.
No es posible dar una breve autónomo sin asumir un grado inusual de la familiaridad con la teoría de funciones modulares.
Además, las partes de la derivación refieren a un cálculo algebraico considerables y pueden ser más fácilmente con la ayuda de un paquete de manipulación simbólica (MACSYMA, arce, REDUCIR, entre otros.).
Esperamos sin embargo para dar una idea de los métodos involucrados. Los detalles completos están disponibles.
Una segunda intención es muy breve para describir el papel de estas y otras aproximaciones en los últimos cálculos de precisión prolongados.
En parte, esto implica una breve discusión sobre la complejidad y la aplicación de tales cálculos. Esta se centra en una discusión de la multiplicación por transformada rápida de Fourier métodos.
En relación a ello es importante el hecho de que estos algoritmos son demostrablemente para cerca del óptimo teórico.
Hay una estrecha relación y hermoso entre la teoría de la transformación para las integrales elípticas y la rápida aproximación de. Esta conexión se hizo por primera explícita por Ramanujan en su artículo de 1914 `` Las ecuaciones modulares y aproximaciones
.
Hay una estrecha relación y hermoso entre la teoría de la transformación para las integrales elípticas y la rápida aproximación de.
Esta conexión se hizo por primera explícita por Ramanujan en su artículo de 1914 `` Las ecuaciones modulares y aproximaciones a
Podríamos hincapié en que Algoritmos 1 y 2 no deben ser encontrados en el trabajo de Ramanujan, de hecho hay aproximación recursiva de que se considera, pero como veremos más adelante que están íntimamente relacionados con su análisis. Tres ejemplos centrales son:
Ejemplo 1
Ejemplo 2 (Algoritmo 1)
Ejemplo 3 (Algoritmo 2)
Por lo tanto apenas trece iteraciones del algoritmo 2 proporcionan más de un billón de dígitos decimales de.
En general, para nosotros, la convergencia PTH-orden de una secuencia a los medios que tiende a y que
para alguna constante C> 0.
Algoritmo 1 es sin duda el algoritmo más eficiente actualmente conocido para el cálculo de precisión extendida de.
Mientras que las tasas de convergencia son impresionantes, es la naturaleza sutil y no transparente a fondo de estos resultados y la belleza de las matemáticas subyacentes que nos intrigan más.
Watson [37], al comentar sobre ciertas fórmulas de Ramanujan, charlas de
Suma 1 se debe directamente a Ramanujan.
Se basa en una identidad modular de orden 58 y, al igual que gran parte del trabajo de Ramanujan, aparece sin pruebas y con la única motivación escasa.
La primera derivación que sabemos de que aparezca en . Algoritmos 1 y 2 se basan en identidades modulares de pedidos 4 y 5 respectivamente. La identidad subyacente quintic modular en el algoritmo 2 (la relación para) se debe también a Ramanujan, aunque la primera prueba se debe a Berndt .
Una de las intenciones al escribir este artículo es explicar la génesis
de Suma 1 y de Algoritmos 1 y 2.
No es posible dar una breve autónomo sin asumir un grado inusual de la familiaridad con la teoría de funciones modulares.
Además, las partes de la derivación refieren a un cálculo algebraico considerables y pueden ser más fácilmente con la ayuda de un paquete de manipulación simbólica (MACSYMA, arce, REDUCIR, entre otros.).
Esperamos sin embargo para dar una idea de los métodos involucrados. Los detalles completos están disponibles.
Una segunda intención es muy breve para describir el papel de estas y otras aproximaciones en los últimos cálculos de precisión prolongados.
En parte, esto implica una breve discusión sobre la complejidad y la aplicación de tales cálculos. Esta se centra en una discusión de la multiplicación por transformada rápida de Fourier métodos.
En relación a ello es importante el hecho de que estos algoritmos son demostrablemente para cerca del óptimo teórico.
Hay una estrecha relación y hermoso entre la teoría de la transformación para las integrales elípticas y la rápida aproximación de. Esta conexión se hizo por primera explícita por Ramanujan en su artículo de 1914 `` Las ecuaciones modulares y aproximaciones
.
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